• Introduction
• pem
• Data Types and Conversions
  • Elliptic-Curve-Point-to-Octet-String Conversion
• Cryptographic Components
  • Elliptic Curve Domain Parameters over F_p
  • Elliptic Curve Domain Parameters over F_2^m
  • Elliptic Curve Diffie-Hellman Primitive
  • Elliptic Curve Cofactor Diffie-Hellman Primitive
  • Elliptic Curve MQV Primitive
  • Key Derivation Functions
    • ANS X9.63 Key Derivation Function
  • MAC schemes
  • Symmetric Encryption Schemes
  • Key Wrap Schemes
  • Random Number Generation
• Signature Schemes
  • Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)
    • sign
    • verify
• r,s 的 asn1 显示
• Encryption and Key Transport Schemes
  • Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme(ECIES)
    • encrypt
    • decrypt
  • Wrapped Key Transport Scheme
• Key Agreement Schemes
• Other

Introduction

SEC 1: Elliptic Curve Cryptography

SEC 2: Recommended Elliptic Curve Domain Parameters

pem

secg: RFC5915

-----BEGIN EC PRIVATE KEY-----
-----END EC PRIVATE KEY-----

PKCS: RFC5208

-----BEGIN EC PRIVATE KEY-----
-----END EC PRIVATE KEY-----

Data Types and Conversions

Elliptic-Curve-Point-to-Octet-String Conversion

非零场景下：

• uncompress模式，octet string将以 0x04 开头，后面带 X || Y
• compress模式，octet string将以 0x02 或 0x03 开头，后面带X; 02表示Y为even，03表示Y为odd
• hybrid模式，octet string将以 0x06 或 0x07 开头，后面带X || Y; 06表示Y为even，07表示Y为odd

Cryptographic Components

Elliptic Curve Domain Parameters over F_p

n为基点G的阶

Cofactor h为该椭圆曲线在F_p上的点的个数除以n后的值

T= (p, a, b, G, n, h)

E: y^2 ≡ x^3+ax+b (mod p)

h= #E(F_p)/n

Elliptic Curve Domain Parameters over F_2^m

f(x)是一个m次多项式，irreducible binary polynomial

T= (m, f(x), a, b, G, n, h)

E: y^2+xy=x^3+ax^2+b in F_2^m

h= #E(F_2^m)/n

Elliptic Curve Diffie-Hellman Primitive

U与V协商，使用U的私钥*V的公钥，取x轴的值为share secret

P= (x_P, y_P) =d_U*Q_V

If P=O, output “invalid” and stop.

Output z=x_P as the shared secret field element

Elliptic Curve Cofactor Diffie-Hellman Primitive

h参与计算

P= (x_P, y_P) = h*d_U*Q_V

If P=O, output “invalid” and stop.

Output z=x_P as the shared secret field element

Elliptic Curve MQV Primitive

细节见section 3.4

U、V各含2个key pair

U将自身第2个key pair的公钥Q_2,U中的x轴的值进行模计算转换(记为~Q_2,U)

s = d_2,U + ~Q_2,U * d_1,U mod n

再使用相同算法计算 ~Q_2,V

P = (x_P, y_P) = h * s * ( Q_2,V + ~Q_2,V * Q_1,V )

If P=O, output “invalid” and stop

Output z=x_P as the shared secret field element

Key Derivation Functions

ANS X9.63 Key Derivation Function

Z 为上述share secret value的octet string

keydatalen 为生成目标key的预期长度

SharedInfo 为预设的共享信息，可选

Counter为4字节计数器，从 Counter=1 开始计算 K_i=Hash(Z‖Counter‖[SharedInfo])

拼接K_i，得到目标key

MAC schemes

需要选定 MAC 函数、mackeylen、maclen

可以用 KDF 生成 mackeylen 长度的目标 mackey

mackey与消息M都转换为bit string，调用MAC函数计算得到bit string形式的 ~D

将~D转换为octet string，截取到目标maclen

Symmetric Encryption Schemes

需要选定 对称加密 ENC 函数、enckeylen

可以用 KDF 生成 enckeylen 长度的目标 enckey

使用enckey加密消息M，得到密文C

Key Wrap Schemes

使用 key wrap scheme 加密 enckey (K)，获得~K

使用K加密消息M，得到密文C

接收方收到的是 (~K, C)

Random Number Generation

业界不推荐 Dual_EC_DRBG

Signature Schemes

Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)

sign

发送方U临时选定一个key pair (k, R), 其中R = (x_R, y_R)

r =  x_R mod n

H = Hash(M)

将H转换成log_2 (n) 长度内的整数值e

s = k^−1 * ( e + r * d_U ) mod n

Output S = (r, s)

注意r, s不能为0，只要有0，就要重新随机选一个k进行计算

verify

接收方V获得(r, s)

以相同算法计算出e

u_1= e * s^−1 mod n
u_2= r * s^−1 mod n
R = (x_R, y_R) = u_1 * G + u_2 *Q_U
v = x_R mod n
if v=r, output “valid”

r,s 的 asn1 显示

0x30|b1|0x02|b2|r|0x02|b3|s
b1 = Length of remaining data
b2 = Length of r
b3 = Length of s 

注意r/s为正数，因此，当 r/s 的hex值的首个bit是1的时候，需要在前面加 0x00 解决负数补码的问题。

Encryption and Key Transport Schemes

Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme(ECIES)

Integrated Encryption Scheme

A Survey of the Elliptic Curve Integrated Encryption Scheme

encrypt

发送方U临时选定一个key pair (k, R), 其中R = (x_R, y_R)

U使用R，与接收方V通过DH协商出一个Z

发送方U提供SharedInfo1 (可选), 接收方V提供SharedInfo2 (可选)

U使用KDF，基于Z和SharedInfo1生成enckey + mackey

U使用ENC函数，基于enckey加密消息M，获得EM

U使用MAC函数，基于mackey计算EM ‖ [SharedInfo2]的消息认证码，获得D

C= (~R, EM, D)

其中~R 为 Elliptic-Curve-Point-to-Octet-String Conversion 转换过的octet string

decrypt

接收方V将~R恢复为R = (X_R, Y_R)的EC Point模式

接收方V使用R恢复出Z

…

Wrapped Key Transport Scheme

Wrapped key Transport Scheme 是 a key wrap scheme and a key agreement scheme的结合

key agreement 可以是Diffie-Hellman, 或 MQV。

发送方U预先知道了接收方V的公钥，因此，U只需向V提供自身随机生成的临时公钥，就能获得DH agreement的密钥K。

U使用K加密随机内容密钥C，获得wrapped key W。

注意，如果U同时对多个V_1, V_2, V_3, 。。。发送相同的消息M，可能会使用同一个内容密钥C。 此时，如果只使用K，C计算出W，则存在V_i恶意泄漏C，篡改V_j收到的加密消息的风险，解决方案一般是：

• 使用C计算M的MAC值T；
• 以T做为SharedInfo参与agreement密钥K_x的计算，或者让T加入W_x的计算参数，或者基于T为每个接收方x再单独计算出一个T_x = MAC(K_x, T)。

Key Agreement Schemes

使用Diffie-Hellman/MQV计算出一个agreement key，记为Z。再使用KDF，基于Z和SharedInfo计算出目标keydatalen的密钥K。

Other

B.2.1 Commentary on Elliptic Curve Domain Parameters

各crypto密钥长度的安全等级

Table 4: Alignment with other ECC standards

ECDSA, ECIES, ECDH, ECMQV, ECWKTS

ECRNG => Dual_EC_DRBG 不推荐

最后是相关信息的ASN1格式定义

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